HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan

  • Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek berbeda yang didefinisikan (diberi batasan) dengan jelas.
  • Benda atau objek yang termasuk himpunan disebut anggota, elemen atau unsure dari suatu himpunan.

B. Kumpulan atau Kelompok yang Merupakan Suatu Himpunan.

Contoh :

–        Kelompok siswa di kelasmu yang tinggi badannya lebih dari 160 cm

–        Kumpulan hewan berkaki empat

–        Kumpulan bilangan factor dari 12

Dikatakan himpunan jika dapat disebutkan dengan tegas objek yang merupakan anggota dan yang bukan anggota kelompoknya.

C. Kumpulan atau Kelompok yang Bukan Merupakan Suatu Himpunan.

Contoh :

–        Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

( pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasnya)

–        Kumpulan lkisan indah

( pengertian indah tidak jelas batasannya harus seperti apa bagusnya )

–        Kelompok orang kaya di Jakarta

( pengertian kaya tidak jelas berapa banyak harta yang harus dimilikinya)

D. Lambang Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda kurang kurawal dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf Kapital.

Contoh :  B = { pisang, jambu, mangga }

–        Untuk menyatakan suatu objek atau benda yang merupakan anggota himpunan digunakan lambang Î

–        Untuk menyatakan bahwa suatu objek atau benda bukan anggota himpunan suatu himpunan digunakan lambing  Ï

–        Untuk menyatakan banyaknya anggota dinyatakan dengan notasi n(A)

E. Menyatakan suatu Himpunan

    1. Dengan Kata-Kata

Menyatakan himpunan dengan kata-kata sangat bermanfaat untuk himpunan yang memiliki anggota sangat banyak dan tak beraturan, sehingga kita akan mengalami kesulitan bila anggota-anggotanya ditulis satu demi satu.

Contoh : A = { lima bilangan asli yang pertama}

  • Dengan Notasi Pembentuk Himpunan

Contoh : K = { x| x < 5, x Î A }, dengan A adalah himpunan bilangan asli.

Dibaca : “ K adalah himpunan x, sehingga x kurang dari 5 dan x anggota A”.

  • Dengan Mendaftarkan Anggota-Anggotanya

Anggota-anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Pada penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak dan memiliki pola tertentu, maka penulisannya dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah titik yang dibaca “dan seterusnya”

Contoh : A = {1,2,3,4, . . . }

F. Himpunan Kosong

Adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Ditulis dengan notasi atau symbol { } atau f. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

G. Himpunan Semesta

Adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan atau himpunan universum. Lambang himpunan semesta adalah S.

H. Syarat Himpunan

–        Berpotongan

Ada anggota suatu himpunan yang sama dengan anggota himpunan yang kiri.

Contoh :        

A = { 1,2,3,4 }

B = { 3,4,5,6 }

–        Saling Asing

Tidak ada anggota A yang sama dengan anggota himpunan B

Contoh :

A = { bil. ganjil }

B = { bil. genap }

Ditulis :

A // B

– Ekuivalen

Himpunan yang jumlah anggotanya sama.

A = { 1,3,5 }, n (A) = 3

B = { p, q, r }, n(B) = 3

I. Himpunan Bagian

–        Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap anggota A menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A Ì B

–        Setiap himpunan adalah merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Untuk sembarang himpunan A, berlaku A Ì A

–        Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Untuk semarang himpunan A, berlaku { } Ì A  atau f Ì A

–        Jika banyaknya anggota himpunan adalah n, maka banyaknya himpunan bagian adalah 2n.

J. Irisan

–        Irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A dan sekaligus merupakan anggota himpunan B juga.

–        Dengan notasi pembentuk himpunan irisan A dan B didefinisikan sebagai   : A n B = {x| x E A dan x Î B}.

K. Gabungan

Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A saja, anggota B saja, dan anggota persekutuan A dan B. dengan notasi sebagai berikut : A u B = {x| x ÎA atau x Î B}.

L. Kombinasi

S = { x| 0 < x < 10, x E bil. asli}


A = { 1,2,3,4}

A’ = Ac =…..?

Ac = { 5,6,7,8,9}

Ac = { x| x Î 5 dan x  Ï A

A u Ac = S

(Ac)c = A

A n Ac = f

Sc = f

Fc = S

M. Selisih Dua Himpunan

Adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B.

Contoh :

A = { 1,2,3,4 }

B = { 3,4,5,6 }

A – B = { x | x E A dan x Ï B }

= A n Bc

= { 1,2 }

N. Product Cartesius

A x B { (a,b) | a E A dan b E B }

B x A = { (b,a) | b E B dan a E A }

Contoh :

A = { 1,2,3,4 }

B = { 3,4,5,6 }

A x B = { (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}

O. Sifat-Sifat Operasi Himpunan

–       Sifat Komutatif Irisan

A n B = B n A

–       Sifat Asosiatif Irisan

( A n B) n C =  A n (B n C)

–       Sifat Komutatif Gabungan

A u B = B u A

–       Sifat Asosiatif Gabungan

(A u B) u C = A u (B u C)

–       Sifat Distributif Irisan Terhadap Gabungan

A n (B u C) = (A n B) u (A n C)

–       Sifat Distributif Gabungan Terhadap Irisan

A u (B n C) = (A u B) n (A u C)