PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

A. Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

1. Persamaan Linier dengan Satu Peubah ( Variabel )

Persamaan adalah kalimat matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh relasi. Pada prinsipnya, menyelesaikan persamaan adalah mencari persamaan lain yang ekuivalen dengan persamaan tersebut. Persamaan dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama. Contoh persamaan : 3x + 5 = 8, 3x = 3 dan x = 1 adalah persamaan-persamaan yang ekuivalen, sebab {1} merupakan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan diatas. Untuk menentukan persamaan yang ekuivalen, kita menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada sistem bilangan real.

Sifat-sifat pada bilangan real yang sering digunakan ialah:

1)      Jika a, b, dan c bilangan real dan a = b, maka a + c = b + c

2)      Jika a, b, dan c bilangan real: c ≠ 0 dan a = b, maka ac = bc

Contoh :

1)      3x + 5 = 8

2)      4 ( y – 1) + 5 ( y + 2) = 3 (y – 8 )

Jawab ;

1)      3x + 5 = 8

3x  = 8 – 5

3x = 3

x = 1          jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }

2)      4 ( y -1 ) + 5 ( y + 2) = 3 (y -8)

4y – 4 + 5y + 10 = 3y – 24

9y + 6 = 3y – 24

9y + 6 + ( -3y) = 3y – 24 + ( -3y )

6y + 6 = -24

6y + 6 (-6) = -24 + (-6)

6y = -30

1/6 (6y) = 1/6 (-30)

y = -5         jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-5}

Þ    Persamaan Linier dengan satu variabel adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan variabelnya berpangkat satu.

Þ    Penyelesaian adalah pengganti dari variabel sehingga kalimat terbuka menjadi kalimat yang benar

Þ    Konstanta adalah penganti dari variabel yang membuat suatu kalimat terbuka menjadi kalimat benar / salah.

Þ    Peubah atau variabel (x,y) adalah lambang ( simbol ) yang dapat diganti oleh sembarang bilangan yang ditentukan.

Þ    Penerapan persamaan dalam kehidupan :

  • Jika memerlukan diagram, buatlah diagram (sketsa) dari kalimat erbuka itu
  • Menerjemahkan kalimat cerita menjadi kalimat matematika dalam bentuk persamaan.
  • Menyelesaikan persamaan.

Contoh:

Ani pergi kepasar untuk membeli apel dan rambutan. Harga 1    kg apel 3 kali harga 1kg rambutan. Ani membeli 2 kg apel dan 3 kg rambutan dengan harga Rp 9.000,00. Berapa masing-masing harga apel dan rambutan setiap kg?.

Jawab :

Misal: harga 1 kg rambutan rupiah, karena itu harga 1 kg apel 3x  rupiah, harga 3 kg rambutan adalah 3x rupiah dan 2 kg apel adalah 6x rupiah

maka 3x + 6x = 9.000

9x = 9.000

X = 100       →         jadi harga 1 kg rambutan adalah Rp 1.000 dan 1 kg apel adalah                                Rp. 3.000.

2. Persamaan linear dengan dua peubah

Bentuk umum persamaan linear dengan dua peubah adalah ax + by = c. dengan a, b dan c bilangan real (a ≠ 0 atau b ≠ 0), x dan y adalah “peubah”.

Himpunanpenyelesaian dari persamaan diatas merupakan himpunan pasangan terurut (x,y) yang memuat lebih dari satu unsur.

3. Pertidaksamaan  Linier

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka, yang memuat relasi ≤, ≥, <, atau >. Bentuk baku pertidaksamaan  dengan satu peubah adalah : ax + bx ≥ 0,

ax + b > 0, ax + b ≤ 0, dan ax + b < 0 , dengan a, b , bilangan real dan a > 0. Himpunan semua  penyelesaian dari suatu pertidakasamaan disebut himpunan penyelesaian. Biasanya himpunan peyelesaian dari suatu pertidaksamaan merupakan himpunan tak hingga.

Untuk menyelesaiakan suatu pertidaksamaan, kita mencari pertidaksamaan lain yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut, untuk menentukan pertidaksamaan yang ekuivalen, kita gunakan sifat-sifat pada sistem bilangan real. Sifat-sifat yang digunakan adalah :

  • Jika a, b, dan c bilangan real dan a ‹ b, maka a + c ‹ b + c
  • Jika a, b, c bilangan real, c › 0 dan a ‹ b, maka ac ‹ bc, dan

jika c ‹ 0, maka ac › bc.

a) Pertidaksamaan linear dengan satu peubah

Bentuk baku pertidaksamaan dengan satu perubah adalah ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b > 0, atau ax + b ≤ o. dengan a, dan b bilangan real a > 0.

Biasanya himpunan penyelesaian dari suatu pertidak samaan merupakan himpunan tak hingga.

Untuk menentukan persamaan yang ekuivalen kita dapat menggunakan sifat-sifat pada bilangan real, yakni:

  1. Jika a, b dan c bilangan real dan a < b, maka a + b < b + c.
  2. Jika a, b dan c bilangan real, c > 0 dan a < b, maka ac < bc, dan jika c < 0, maka ac > bc.

b) Pertidaksamaan linear dengan dua peubah

Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dengan dua peubah adalah;

ax + by > c

ax + by < c

ax + by ≥ c

ax + by ≤ c

Bilangan real a ≠ 0 atau b ≠ 0.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ini juga berupa himpunan pasangan terurut (x,y) tetapi tidak berupa garis, melainkan berupa bidang.

Langkah-langkah untuk menggambar grafik pertidaksamaan:

  1. Gambarlah grafik persamaannya

Gunakan garis lurus terputus-putus, bila relasi ketaksamaannya > atau <, dan gunakan garis lurus tak terputus, bila ketaksamaannya ≥ atau ≤.

  1. Pilih titik penguji yang tidak terletak pada garis tersebut dan subtitusikan koordinatnya kepada pertidaksamaannya. Biasanya titik 0 (0,0) digunakan sebagai titik penguji, apabila titik 0 tidak terletak pada grafik persamaannya.
  2. Gambarlah grafik pertidaksamaannya:

a)      Bila titik penguji tersebut memenuhi pertidaksamaan yang dimaksudkan, maka bidang yang memuat titik penguji tersebut merupakan grafik pertidaksamaan yang dimaksud.

b)      Bila titik penguji tersebut tidak memenuhi pertidaksamaan yang dimaksud, maka grafik dari persamaan yang dimaksud adalah bidang yang tidak memuat titik penguji tersebut.

B. Pesamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Satu Peubah

1. Persamaan  Kuadrat

Bentuk umumnya adalah ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a = 0. Bentuk ax2 + bx + c = 0 disebut sebagai  bentuk bagu persamaan kuadrat. Dalam pembahasan ini akan dibicarakan cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi, melengkapkan kuadrat, dan dengan menggunakan rumus.

  • Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi

Cara faktorisai ini dilaksanakan berdasarkan sifat : jika a dan b bilangan real dan ab = 0, maka a = 0 atau b = 0

  • Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapai kuadrat

Tidak semua persamaan kuadrat dapat di selesaikan dengan faktorisasi. Karena itu, kita perlu metode yang dapat digunakan untuk mencari huimpunan penyelesaian dari sebarang persamaan kuadrat. Metode ini di kenal sebagai metode melengkapkan kuadrat, yaitu mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk (x – d )2 =  k dengan d dan k bilangan real dan k > 0.

2. Rumus Kuadrat

Bentuk umumnya adalah : ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real serta a = 0. Kita menyelesaikan persamaan kuadrat diatas dengan cara melengkapi kuadrat sebagai berikut :

ax2 + bx + c = 0

Þ    ax2 + bx = -c

Þ    x2 +  b x = –c

a          a

x + b =   ± √ b²  – 4 ac

2a                4a²

Karena √ b² – 4ac √ b²- 4ac , maka

4a²                            2a

X = – b ±√ b² – 4 ac =     -b ± √ b² – 4ac

2a            2a                                   2a

Teorema :

Hjmpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat :

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 adalah

{  -b +  √  b² -4ac ,       -b – √ b² – 4ac }

2a                                       2a

C. Latihan Soal – Soal dan Pembahasan

  • 7x – 3 = 5x + 9, tentuhan nilai x?

Jawab :

7x – 3 = 5x + 9

7x – 3 + ( -5x ) = 5x + 9 + ( -5 )

2x – 3 = 9

2x – 3 + 3 = 9 + 3

2x = 12

½ ( 2x )  = ½ (12) = 6

  • 5x – 3 > 7, Tentukan himpunan penyelesaiannya?

5x – 3 + 3 > 7 + 3

5x > 10

1/5 (5x) > 1/5 (10)

X > 2

Jadi hpnya ialah { xIx > 2)

  • 5x – 3 > 7 , Tentukan himpunan penyelesaiannya?

Jawab :

5x > 7 + 3

5x > 10

x = 2

jadi, hp = {x│x > 2}

  • Ani pergi kepasar untuk membeli apel dan rambutan. Harga 1    kg apel 3 kali harga 1kg rambutan. Ani membeli 2 kg apel dan 3 kg rambutan dengan harga Rp 9.000,00. Berapa masing-masing harga apel dan rambutan setiap kg?.

Jawab :

Misal: harga 1 kg rambutan rupiah, karena itu harga 1 kg apel 3x  rupiah, harga 3 kg rambutan adalah 3x rupiah dan 2 kg apel adalah 6x rupiah maka 3x + 6x = 9.000

9x = 9.000

X = 100       →      jadi harga 1 kg rambutan adalah Rp 1.000 dan 1 kg apel

Rp. 3.000.

  • 3x + 5 = 8, Tentukan himpunan penyelesaiannya?

Jawab

3x + 5 = 8

3x + 5 + (-5) = 8 + (-5)

3x = 3

x = 1

jadi, hp = {1}