Arsip untuk Februari, 2010

Matematika

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

A. Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

1. Persamaan Linier dengan Satu Peubah ( Variabel )

Persamaan adalah kalimat matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh relasi. Pada prinsipnya, menyelesaikan persamaan adalah mencari persamaan lain yang ekuivalen dengan persamaan tersebut. Persamaan dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama. Contoh persamaan : 3x + 5 = 8, 3x = 3 dan x = 1 adalah persamaan-persamaan yang ekuivalen, sebab {1} merupakan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan diatas. Untuk menentukan persamaan yang ekuivalen, kita menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada sistem bilangan real.

Sifat-sifat pada bilangan real yang sering digunakan ialah:

1)      Jika a, b, dan c bilangan real dan a = b, maka a + c = b + c

2)      Jika a, b, dan c bilangan real: c ≠ 0 dan a = b, maka ac = bc

Contoh :

1)      3x + 5 = 8

2)      4 ( y – 1) + 5 ( y + 2) = 3 (y – 8 )

Jawab ;

1)      3x + 5 = 8

3x  = 8 – 5

3x = 3

x = 1          jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }

2)      4 ( y -1 ) + 5 ( y + 2) = 3 (y -8)

4y – 4 + 5y + 10 = 3y – 24

9y + 6 = 3y – 24

9y + 6 + ( -3y) = 3y – 24 + ( -3y )

6y + 6 = -24

6y + 6 (-6) = -24 + (-6)

6y = -30

1/6 (6y) = 1/6 (-30)

y = -5         jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-5}

Þ    Persamaan Linier dengan satu variabel adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan variabelnya berpangkat satu.

Þ    Penyelesaian adalah pengganti dari variabel sehingga kalimat terbuka menjadi kalimat yang benar

Þ    Konstanta adalah penganti dari variabel yang membuat suatu kalimat terbuka menjadi kalimat benar / salah.

Þ    Peubah atau variabel (x,y) adalah lambang ( simbol ) yang dapat diganti oleh sembarang bilangan yang ditentukan.

Þ    Penerapan persamaan dalam kehidupan :

  • Jika memerlukan diagram, buatlah diagram (sketsa) dari kalimat erbuka itu
  • Menerjemahkan kalimat cerita menjadi kalimat matematika dalam bentuk persamaan.
  • Menyelesaikan persamaan.

Contoh:

Ani pergi kepasar untuk membeli apel dan rambutan. Harga 1    kg apel 3 kali harga 1kg rambutan. Ani membeli 2 kg apel dan 3 kg rambutan dengan harga Rp 9.000,00. Berapa masing-masing harga apel dan rambutan setiap kg?.

Jawab :

Misal: harga 1 kg rambutan rupiah, karena itu harga 1 kg apel 3x  rupiah, harga 3 kg rambutan adalah 3x rupiah dan 2 kg apel adalah 6x rupiah

maka 3x + 6x = 9.000

9x = 9.000

X = 100       →         jadi harga 1 kg rambutan adalah Rp 1.000 dan 1 kg apel adalah                                Rp. 3.000.

2. Persamaan linear dengan dua peubah

Bentuk umum persamaan linear dengan dua peubah adalah ax + by = c. dengan a, b dan c bilangan real (a ≠ 0 atau b ≠ 0), x dan y adalah “peubah”.

Himpunanpenyelesaian dari persamaan diatas merupakan himpunan pasangan terurut (x,y) yang memuat lebih dari satu unsur.

3. Pertidaksamaan  Linier

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka, yang memuat relasi ≤, ≥, <, atau >. Bentuk baku pertidaksamaan  dengan satu peubah adalah : ax + bx ≥ 0,

ax + b > 0, ax + b ≤ 0, dan ax + b < 0 , dengan a, b , bilangan real dan a > 0. Himpunan semua  penyelesaian dari suatu pertidakasamaan disebut himpunan penyelesaian. Biasanya himpunan peyelesaian dari suatu pertidaksamaan merupakan himpunan tak hingga.

Untuk menyelesaiakan suatu pertidaksamaan, kita mencari pertidaksamaan lain yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut, untuk menentukan pertidaksamaan yang ekuivalen, kita gunakan sifat-sifat pada sistem bilangan real. Sifat-sifat yang digunakan adalah :

  • Jika a, b, dan c bilangan real dan a ‹ b, maka a + c ‹ b + c
  • Jika a, b, c bilangan real, c › 0 dan a ‹ b, maka ac ‹ bc, dan

jika c ‹ 0, maka ac › bc.

a) Pertidaksamaan linear dengan satu peubah

Bentuk baku pertidaksamaan dengan satu perubah adalah ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b > 0, atau ax + b ≤ o. dengan a, dan b bilangan real a > 0.

Biasanya himpunan penyelesaian dari suatu pertidak samaan merupakan himpunan tak hingga.

Untuk menentukan persamaan yang ekuivalen kita dapat menggunakan sifat-sifat pada bilangan real, yakni:

  1. Jika a, b dan c bilangan real dan a < b, maka a + b < b + c.
  2. Jika a, b dan c bilangan real, c > 0 dan a < b, maka ac < bc, dan jika c < 0, maka ac > bc.

b) Pertidaksamaan linear dengan dua peubah

Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dengan dua peubah adalah;

ax + by > c

ax + by < c

ax + by ≥ c

ax + by ≤ c

Bilangan real a ≠ 0 atau b ≠ 0.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ini juga berupa himpunan pasangan terurut (x,y) tetapi tidak berupa garis, melainkan berupa bidang.

Langkah-langkah untuk menggambar grafik pertidaksamaan:

  1. Gambarlah grafik persamaannya

Gunakan garis lurus terputus-putus, bila relasi ketaksamaannya > atau <, dan gunakan garis lurus tak terputus, bila ketaksamaannya ≥ atau ≤.

  1. Pilih titik penguji yang tidak terletak pada garis tersebut dan subtitusikan koordinatnya kepada pertidaksamaannya. Biasanya titik 0 (0,0) digunakan sebagai titik penguji, apabila titik 0 tidak terletak pada grafik persamaannya.
  2. Gambarlah grafik pertidaksamaannya:

a)      Bila titik penguji tersebut memenuhi pertidaksamaan yang dimaksudkan, maka bidang yang memuat titik penguji tersebut merupakan grafik pertidaksamaan yang dimaksud.

b)      Bila titik penguji tersebut tidak memenuhi pertidaksamaan yang dimaksud, maka grafik dari persamaan yang dimaksud adalah bidang yang tidak memuat titik penguji tersebut.

B. Pesamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Satu Peubah

1. Persamaan  Kuadrat

Bentuk umumnya adalah ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a = 0. Bentuk ax2 + bx + c = 0 disebut sebagai  bentuk bagu persamaan kuadrat. Dalam pembahasan ini akan dibicarakan cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi, melengkapkan kuadrat, dan dengan menggunakan rumus.

  • Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi

Cara faktorisai ini dilaksanakan berdasarkan sifat : jika a dan b bilangan real dan ab = 0, maka a = 0 atau b = 0

  • Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapai kuadrat

Tidak semua persamaan kuadrat dapat di selesaikan dengan faktorisasi. Karena itu, kita perlu metode yang dapat digunakan untuk mencari huimpunan penyelesaian dari sebarang persamaan kuadrat. Metode ini di kenal sebagai metode melengkapkan kuadrat, yaitu mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk (x – d )2 =  k dengan d dan k bilangan real dan k > 0.

2. Rumus Kuadrat

Bentuk umumnya adalah : ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real serta a = 0. Kita menyelesaikan persamaan kuadrat diatas dengan cara melengkapi kuadrat sebagai berikut :

ax2 + bx + c = 0

Þ    ax2 + bx = -c

Þ    x2 +  b x = -c

a          a

x + b =   ± √ b²  – 4 ac

2a                4a²

Karena √ b² – 4ac √ b²- 4ac , maka

4a²                            2a

X = - b ±√ b² – 4 ac =     -b ± √ b² – 4ac

2a            2a                                   2a

Teorema :

Hjmpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat :

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 adalah

{  -b +  √  b² -4ac ,       -b – √ b² – 4ac }

2a                                       2a

C. Latihan Soal – Soal dan Pembahasan

  • 7x – 3 = 5x + 9, tentuhan nilai x?

Jawab :

7x – 3 = 5x + 9

7x – 3 + ( -5x ) = 5x + 9 + ( -5 )

2x – 3 = 9

2x – 3 + 3 = 9 + 3

2x = 12

½ ( 2x )  = ½ (12) = 6

  • 5x – 3 > 7, Tentukan himpunan penyelesaiannya?

5x – 3 + 3 > 7 + 3

5x > 10

1/5 (5x) > 1/5 (10)

X > 2

Jadi hpnya ialah { xIx > 2)

  • 5x – 3 > 7 , Tentukan himpunan penyelesaiannya?

Jawab :

5x > 7 + 3

5x > 10

x = 2

jadi, hp = {x│x > 2}

  • Ani pergi kepasar untuk membeli apel dan rambutan. Harga 1    kg apel 3 kali harga 1kg rambutan. Ani membeli 2 kg apel dan 3 kg rambutan dengan harga Rp 9.000,00. Berapa masing-masing harga apel dan rambutan setiap kg?.

Jawab :

Misal: harga 1 kg rambutan rupiah, karena itu harga 1 kg apel 3x  rupiah, harga 3 kg rambutan adalah 3x rupiah dan 2 kg apel adalah 6x rupiah maka 3x + 6x = 9.000

9x = 9.000

X = 100       →      jadi harga 1 kg rambutan adalah Rp 1.000 dan 1 kg apel

Rp. 3.000.

  • 3x + 5 = 8, Tentukan himpunan penyelesaiannya?

Jawab

3x + 5 = 8

3x + 5 + (-5) = 8 + (-5)

3x = 3

x = 1

jadi, hp = {1}

Matematika

HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan

  • Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek berbeda yang didefinisikan (diberi batasan) dengan jelas.
  • Benda atau objek yang termasuk himpunan disebut anggota, elemen atau unsure dari suatu himpunan.

B. Kumpulan atau Kelompok yang Merupakan Suatu Himpunan.

Contoh :

-        Kelompok siswa di kelasmu yang tinggi badannya lebih dari 160 cm

-        Kumpulan hewan berkaki empat

-        Kumpulan bilangan factor dari 12

Dikatakan himpunan jika dapat disebutkan dengan tegas objek yang merupakan anggota dan yang bukan anggota kelompoknya.

C. Kumpulan atau Kelompok yang Bukan Merupakan Suatu Himpunan.

Contoh :

-        Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

( pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasnya)

-        Kumpulan lkisan indah

( pengertian indah tidak jelas batasannya harus seperti apa bagusnya )

-        Kelompok orang kaya di Jakarta

( pengertian kaya tidak jelas berapa banyak harta yang harus dimilikinya)

D. Lambang Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda kurang kurawal dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf Kapital.

Contoh :  B = { pisang, jambu, mangga }

-        Untuk menyatakan suatu objek atau benda yang merupakan anggota himpunan digunakan lambang Î

-        Untuk menyatakan bahwa suatu objek atau benda bukan anggota himpunan suatu himpunan digunakan lambing  Ï

-        Untuk menyatakan banyaknya anggota dinyatakan dengan notasi n(A)

E. Menyatakan suatu Himpunan

    1. Dengan Kata-Kata

Menyatakan himpunan dengan kata-kata sangat bermanfaat untuk himpunan yang memiliki anggota sangat banyak dan tak beraturan, sehingga kita akan mengalami kesulitan bila anggota-anggotanya ditulis satu demi satu.

Contoh : A = { lima bilangan asli yang pertama}

  • Dengan Notasi Pembentuk Himpunan

Contoh : K = { x| x < 5, x Î A }, dengan A adalah himpunan bilangan asli.

Dibaca : “ K adalah himpunan x, sehingga x kurang dari 5 dan x anggota A”.

  • Dengan Mendaftarkan Anggota-Anggotanya

Anggota-anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Pada penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak dan memiliki pola tertentu, maka penulisannya dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah titik yang dibaca “dan seterusnya”

Contoh : A = {1,2,3,4, . . . }

F. Himpunan Kosong

Adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Ditulis dengan notasi atau symbol { } atau f. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

G. Himpunan Semesta

Adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan atau himpunan universum. Lambang himpunan semesta adalah S.

H. Syarat Himpunan

-        Berpotongan

Ada anggota suatu himpunan yang sama dengan anggota himpunan yang kiri.

Contoh :        

A = { 1,2,3,4 }

B = { 3,4,5,6 }

-        Saling Asing

Tidak ada anggota A yang sama dengan anggota himpunan B

Contoh :

A = { bil. ganjil }

B = { bil. genap }

Ditulis :

A // B

- Ekuivalen

Himpunan yang jumlah anggotanya sama.

A = { 1,3,5 }, n (A) = 3

B = { p, q, r }, n(B) = 3

I. Himpunan Bagian

-        Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap anggota A menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A Ì B

-        Setiap himpunan adalah merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Untuk sembarang himpunan A, berlaku A Ì A

-        Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Untuk semarang himpunan A, berlaku { } Ì A  atau f Ì A

-        Jika banyaknya anggota himpunan adalah n, maka banyaknya himpunan bagian adalah 2n.

J. Irisan

-        Irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A dan sekaligus merupakan anggota himpunan B juga.

-        Dengan notasi pembentuk himpunan irisan A dan B didefinisikan sebagai   : A n B = {x| x E A dan x Î B}.

K. Gabungan

Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A saja, anggota B saja, dan anggota persekutuan A dan B. dengan notasi sebagai berikut : A u B = {x| x ÎA atau x Î B}.

L. Kombinasi

S = { x| 0 < x < 10, x E bil. asli}


A = { 1,2,3,4}

A’ = Ac =…..?

Ac = { 5,6,7,8,9}

Ac = { x| x Î 5 dan x  Ï A

A u Ac = S

(Ac)c = A

A n Ac = f

Sc = f

Fc = S

M. Selisih Dua Himpunan

Adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B.

Contoh :

A = { 1,2,3,4 }

B = { 3,4,5,6 }

A – B = { x | x E A dan x Ï B }

= A n Bc

= { 1,2 }

N. Product Cartesius

A x B { (a,b) | a E A dan b E B }

B x A = { (b,a) | b E B dan a E A }

Contoh :

A = { 1,2,3,4 }

B = { 3,4,5,6 }

A x B = { (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}

O. Sifat-Sifat Operasi Himpunan

-       Sifat Komutatif Irisan

A n B = B n A

-       Sifat Asosiatif Irisan

( A n B) n C =  A n (B n C)

-       Sifat Komutatif Gabungan

A u B = B u A

-       Sifat Asosiatif Gabungan

(A u B) u C = A u (B u C)

-       Sifat Distributif Irisan Terhadap Gabungan

A n (B u C) = (A n B) u (A n C)

-       Sifat Distributif Gabungan Terhadap Irisan

A u (B n C) = (A u B) n (A u C)

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.